Ньютон версус Лагранж. Часть 2

В части 1 мы рассуждали о неких “связях” между объектами физической системы. И ключевым фактором для того, чтобы подход Лагранжа работал, являются свойства этих связей.

В классической машине Этвуда грузы связаны нерастяжимой нитью. На языке математики это означает, что длина нити неизменна, а сумма координат грузов при их перемещении остается константой, т.е.

В уравнение связи не входят ни скорости грузов, ни время. Такие связи вида

, где

– координаты, называются стационарными (т.е. не зависящими от времени) и конечными (геометрическими), т.е. не зависящими от скорости. Вторая связь – отсутствие проскальзывания в блоке – приводит нас к другому виду связи:

Связи вида

, т.е. те, в которые входят скорости, называются кинематическими (дифференциальными). Очевидно, что из любой геометрической связи можно получить кинематическую (чем мы и занимались в части 1-й), а вот наоборот – не всегда. Можно выразить это в виде таблицы:

Связь

	Зависит явно от времени	Входят скорости
Да	нестационарная	кинематическая
Нет	стационарная	геометрическая

Т.е. например связь

будет геометрической нестационарной, а

кинематической стационарной.

Ну хорошо, а что нам это дает с точки зрения понимания, как перейти от Ньютона к Лагранжу ? Тут нам придется немного углубиться в математический формализм. Допустим, у нас имеется кинематическая связь между частями системы, которая представима в виде

Мы все люди грамотные и понимаем, что это выражение эквиалентно

т.е. у уравнения связи существует интеграл:

В этом случае связь является дифференциальной интегрируемой. Например, в машине Этвуда связь

является дифференциальной интегрируемой, а интеграл ее

имеет простой физический смысл – так как нить не скользит по блоку, то длины путей, пройденных любой точкой шкива и вторым грузом с момента начала движения всегда равны в любой момент времени.

Система, у которой все связи – конечные или дифференциальные интегрируемые, называется голономной. Машина Этвуда – голономная система. На данный момент этот факт нужно просто запомнить.

В треьей части мы рассмотрим, откуда взялась сама идея лагранжевой механики.