Ньютон версус Лагранж. Часть 4

После Ферма (1600) прошло прошло почти 150 лет молчания, которое нарушил Пьер Мопертюи. Будучи, согласно отзывам некоторых современников, не очень сильным математиком, но имея широкий философский склад ума, Мопертюи впервые формулирует принцип минимального действия применительно к механике в 1744 следующим образом: “истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным”. Как говорил булгаковский Воланд – “Вы, профессор, воля Ваша, что-то нескладное придумали. Оно может и умно, да больно непонятно.”. Метафизикой попахивает. Тем более, что Мопертюи определял “действие” чрезвычайно мутно. В своей работе, опубликованной в 1746 году он рассмотрел три различных случая взаимодействия тел. Первым является неупругое соударение. Мопертюи рассмотрел две точечные массы

движущиеся со скоростями

причем перая частица догоняет другую. После соударения частицы имеют скорость

Далее Мопертюи мысленно конструирует некий “переносчик”, переносящий массы вперед или назад в соответствии с их изменившимися скоростями (весьма любопытное рассуждение, рекомендую почитать) и постулирует, что действием является выражение

Если взять от него производную по

то легко получить условия экстремума:

Ну да, закон сохранения импульса во всей красе. A так как вторая производная от К положительна, то это значение действительно точка минимума. Но вообще говоря, выглядит как некий математический фокус, не более того. Совершенно аналогично он показывает, что из тех же соображений могут быть найдены скорости тел при абсолютно упругом соударении. И завершает все это рассуждениями о равновесии.

Забавным образом Леонард Эйлер дал формулировку того же принципа более строго и на два года раньше. В его варианте минимальным является интеграл

если рассматривать движение тела по всем возможным траекториям между двумя закрепленными точками. При этом гениальный Эйлер был единственным, кто не участвовал в спорах о приоритете. Нетрудно заметить, что все формулировки так или иначе опираются на кинетическую энергию и/или количество движения.

В это же время начинает формироваться новая математическя дисциплина, известная нам как вариационное исчисление. К этому приложил руку сам Айзек Ньютон, решив задачу о теле вращения наименьшего сопротивления. Тут нужно опять внимательно взглянуть на саму формулировку: среди всех усеченных конусов, построенных на данном основании АС радиуса R и на данной высоте h, найти конус (т. е. определить радиус меньшего основания) с наименьшим сопротивлением движению

На первый взгляд кажется, что чем больше затупление, тем больше сопротивление, однако такой интуитивный подход неверен – сопротивление тупой части растет, однако боковая поверхность оказывается под меньшим углом к набегающему потоку и ее сопротивление падает. Эта задача отлично разобрана в статье.

Обратим внимание на то, что здесь присутствуют оба признака вариационной задачи – граничные условия (ограничения) и требование найти некоторую функцию, интеграл от которой при данных условиях будет достигать минимального/максимального значения по сравнению со значением того же интеграла от любых других функций, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Если же быть исторически совершенно точным, то первыми с задачами вариационного исчисления столкнулись греки. Согласно легенде, Дидона — сестра царя финикийского города Тира — переселилась на южное побережье Средиземного моря, где попросила у местного племени участок земли, который можно охватить шкурой быка. Местные жители предоставили шкуру, которую Дидона разрезала на узкие ремни и связала их. Получившимся канатом охватила территорию у побережья, основав Карфаген. Понятно, что обделять себя территорией Дидона не намеревалась, поэтому перед ней встала задача оптимизации – при данной длине периметра найти геометрическую фигуру максимальной площади. Решением является круг (что, согласитесь, не вполне очевидно). Но греческая Ковалевская справилась с задачей на отлично. Правда, как и ее последовательница, умерла рано и трагически, совершив самоподжег от несчастной любви.

Описанная задача относится к изопериметрическим, т.е. формулирующимся как “среди фигур, имеющих заданный периметр, найти имеющую максимальную/минимальную…” – в данном случае максимальную площадь. Точно неизвестно, как Дидона пришла к решению, но если разобрать задачу в терминах современной математики, то она сведется к следующей формулировке.

  

 

Нам требуется отыскать такую функцию y(x), что

, площадь фигуры

максимальна, а периметр – заданная константа

Делов-то…

“Делов” на самом деле не так уж и мало – нам требуется решить задачу поиска функции, то есть сделать качественный скачок к функциональному анализу. Об этом в следующей части.