Ньютон версус Лагранж. Часть 6

Выходит забавная вещь . если мы найдем условие, при котором первая вариация обращается в ноль вне зависимости от того, какую вариацию функции мы возьмем, то мы, получаем вожделенное условие экстремума.

Тут надобно заметить следующее. Тот факт, что

позволяет нам прийти к определению

Такое выражение носит название дифференциала Гато.

Это все прекрасно, но ни на минуту не приближает нас к решению основной проблемы – найти экстремум. Очевидно, хотя бы из предыдущего примера, что это не всегда возможно. Однако, есть один класс функционалов, который позволяет сделать это сравнительно легко:

Действительно

Тогда

Дольше остается вспомнить два факта – производную произведения и то, что вариация на концах отрезка равна нулю.

Так как последнее слагаемое равно нулю (вариация обращается в 0 на концах отрезка), то уравнение

является условием экстремума, т.к. тогда первая вариация функционала обращается в 0, какую бы вариацию функции мы не использовали.

Ну вот теперь можно доказать, что прямая – экстремальное расстояние между точками, т.к. наш функционал попадает аккурат в упомянутый класс

Отсюда условие экстремума

Такое же условие экстремума относится и к функционалам вида

– наличие явной зависимости от x нисколько не влияет на справедливость рассуждений выше. Это будет важно в дальнейшем.